oscilaciones
Los sistemas físicos manifiestan cambios o transformaciones en sus estados de equilibrio. Como resultado de una perturbación o de su condición de equilibrio mecánico (térmico, electromagnético) estable, algunos se caracterizan por realizar movimientos de vaivén, y se mueven alternativamente de un lado a otro alrededor de su posición de equilibrio; si la perturbación es pequeña en comparación con los valores de las cantidades físicas involucradas, éstas oscilan armónicamente y su movimiento puede describirse, en una primera aproximación, con métodos matemáticos elementales. En estas condiciones, algunos sistemas físicos realizan un movimiento armónico simple (SMA).
Diversos sistemas mecánicos que manifiestan este comportamiento en el mundo natural y tecnológico se pueden describir, como una primera aproximación, con este sencillo modelo: el péndulo del reloj, los resortes del automóvil y las vibraciones de sus componentes, el columpio en el parque. . , los cristales de las ventanas, las cuerdas de los instrumentos musicales, la columna de aire de la flauta, los átomos de los cristales, las ondas en la superficie del agua, las ondas sonoras, entre otros.
movimiento armónico simple (MAS)
Este tipo de movimiento armónico simple se caracteriza por ser periódico en el tiempo, debido a la existencia de una fuerza restauradora del tipo Hooke F = - kx directamente proporcional a la posición x, donde k es la constante elástica del sistema (k es la recurso constante en un sistema masa-resorte, por ejemplo), que al actuar sobre un cuerpo de masa M, hace que éste oscile armónicamente. En particular, si el sistema es mecánico, su elasticidad es responsable de la fuerza restauradora que no es constante, sino que cambia armónicamente en el tiempo y el espacio; por otro lado, su inercia -medida a través de la masa- se opone al cambio temporal de su velocidad. Estas propiedades (elasticidad e inercia) compiten para mantener el sistema en oscilación permanente. Como resultado de la elasticidad restauradora, la fuerza elástica que actúa sobre el cuerpo se genera cuando éste ha sido desplazado de su posición de equilibrio estable; por otro lado, la inercia de la información sobre cómo responde la masa M a la acción de la fuerza restauradora F. Cuando el cuerpo oscilante se encuentra entre la posición de equilibrio y cualquiera de los dos puntos de retorno, se genera una fuerza restauradora que lo obliga a regresar a dicha posición; en tal posición de equilibrio, la fuerza elástica deja de actuar y la inercia "toma el control" para enviar el cuerpo más allá de la posición de equilibrio, hacia los puntos de retorno desde donde luego regresa. Este proceso se repite y se mantiene mientras el sistema continúa oscilando, ya que no disipa energía mecánica. Este movimiento es repetitivo, periódico; y su posición, velocidad y aceleración, entre otras magnitudes físicas, varían en adecuada proporción y correspondencia con el tiempo. El camino recorrido por el cuerpo desde donde parte de cualquier punto hasta regresar al mismo punto, con la misma velocidad y aceleración, determina la trayectoria y define una oscilación en el tiempo. El tiempo que se tarda en completar este circuito es el periodo ; el número de oscilaciones por unidad de tiempo es la frecuencia, y el número de radianes en cada oscilación por unidad de tiempo es la frecuencia angular ; estos parámetros que caracterizan y fundamentan su periodicidad temporal.
Al realizar un análisis detallado de un sistema simple con estas características, se obtiene que la ecuación que describe su movimiento es:
d 2 x /dt 2 + ω 2 x = 0,
x (t) = x pecado ( ωt + φ ),
donde x o es la amplitud del movimiento y el ángulo de fase está dado por
φ = arco tg( ω x i /v i );
x i y v i son la posición inicial y la velocidad inicial para t = 0.
Aplicando la derivada ax(t), obtenemos v(t); y aplicando la derivada a v(t), obtenemos a(t). Es decir:
v (t) = v o cos( ω t + φ ) y a (t) = -a o sin( ω t + φ ), donde v o = x o ω y a o =
v o ω son las amplitudes (valores máximos) de la velocidad y la aceleración, respectivamente.
Aplicando la derivada ax(t), obtenemos v(t); y aplicando la derivada a v(t), obtenemos a(t). Es decir:
v (t) = v o cos( ω t + φ ) y a (t) = -a o sin( ω t + φ ), donde v o = x o ω y a o =
v o ω son las amplitudes (valores máximos) de la velocidad y la aceleración, respectivamente.
Un cuerpo en movimiento armónico simple tiene energía cinética y potencial y, por supuesto, energía mecánica. Para una masa constante, la cinética depende de la velocidad variando el desplazamiento en el tiempo; el potencial está asociado a la configuración elástica adoptada (resorte estirado o comprimido, por ejemplo), la posición dentro de un campo gravitacional, eléctrico o magnético (piedra a cierta altura, péndulo oscilante, entre otros). Sabemos que la energía cinética viene dada por Ec = ½ M v2 y el potencial por Ep = ½ k X 2 . La energía mecánica total E es la suma de las dos. Como consecuencia,
Ec(t) = Eic [cos ( ω t + φ )] ,
y mi pag (t) = mi po [sin ( ω t + φ )] 2
donde mi co = 1/2 METRO v o 2 , v o = x o ω y mi po = 1/2 kx o 2 .
Como E = E c (t) + E p (t), entonces,
mi = mi co [cos ( ω t + φ )] 2 + mi po [sin ( ω t + φ )] 2 .
Cuando el sistema se encuentra en los puntos de retorno de máximo desplazamiento, o cuando se encuentra en la posición de equilibrio, se cumple que E co = E po , y en consecuencia:
mi = mi co 2 [pecado 2 ( ω t + φ ) + cos 2 ( ω t + φ )],
E = Eco 2 = constante.
Es decir, la energía permanece constante en el espacio y el tiempo; en cualquier posición y en cualquier instante la energía es la misma. Esto era de esperarse ya que el sistema no se disipa.
La herramienta para analizar la MAS se describe a continuación.
En este apartado utilizamos las herramientas disponibles en la Web para diseñar recursos virtuales que simplifiquen la enseñanza y el aprendizaje de procesos naturales a través de simulaciones. En este sentido, se incorporan y utilizan algunos applets que hemos diseñado y desarrollado con GeoGebra, como recursos didácticos para la discusión del movimiento armónico simple de un sistema oscilante. Permiten simular este tipo de movimiento en sistemas simples (disco, sistema masa-resorte) sometidos a la acción de una fuerza restauradora. Se eligió como herramienta GeoGebra , porque es un software matemático interactivo de uso gratuito, escrito en Java para múltiples plataformas; por ser un procesador interactivo, que combina geometría, álgebra y cálculo, y permite el dibujo dinámico de construcciones geométricas, representaciones gráficas, tratamiento algebraico y el cálculo de funciones reales, sus derivadas e integrales. El archivo con el software debe descargarse del sitio web oficial de GeoGebra (http://geogebra.org/) e instalarse en la computadora.
Los applets diseñados en este texto contienen botones de control para su inicio, pausa y reinicio, así como cuadros de control para mostrar información adicional cuando estos se activan; Además, cada subprograma tiene controles deslizantes que permiten cambiar los parámetros involucrados durante el modelado de la situación física que se analiza. Todos los applets están alojados en el sitio web oficial de Geogebra (http://tube.geogebra.org/), y en el blog "Waves around us" (http://ondasquenosrodean.blogspot.com/) de los autores de este trabajo. El enlace para su activación aparece al pie de cada applet. Cada subprograma contiene una lista de actividades a realizar por el usuario, cuidadosamente diseñadas para comprender las dificultades de los conceptos, procesos y leyes de la física del tema de las oscilaciones.
Cantidades vectoriales
Actividades:
2. Presione el botón Inicio . Observe cómo el disco oscila armónicamente entre los puntos de retorno izquierdo - Xm y derecho +Xm. Cambie el valor de la frecuencia angular a 2, 3, 4,... y observe cómo el disco oscila más rápido.
3. Activa las casillas y sigue las variaciones en las magnitudes de los vectores X(t), V(t), a(t) y F(t) a medida que oscila el círculo.
4 . Mida con el cronómetro de su teléfono móvil el período T del disco con MAS en s (segundos) para la frecuencia angular ω = 4 Hz. Calcula el periodo con T = 2 π / ω y compáralo con la medida.
Representación gráfica
Actividades:
1 . Desmarque las casillas X , V y a.
2 . Presione el botón Inicio. El disco oscila armónicamente y la función de desplazamiento X(t) se dibuja simultáneamente; de la misma manera, las magnitudes y direcciones de los vectores X , V y a y F cambian al unísono .
2 . Presione el botón Inicio. El disco oscila armónicamente y la función de desplazamiento X(t) se dibuja simultáneamente; de la misma manera, las magnitudes y direcciones de los vectores X , V y a y F cambian al unísono .
3. Active el cuadro de desplazamiento y la función seno se superpone en la gráfica durante el punto X. Esto indica que esta función seno describe el desplazamiento del disco en su movimiento oscilatorio.
4. Active las otras casillas V y a para mostrar sus gráficos. Estudiar la correspondencia entre las gráficas de las funciones y sus respectivas representaciones vectoriales.
5 . Determine el período T del MAS en s (segundos) y la frecuencia angular en Hz (Hertz) directamente a partir de los gráficos.
5 . Determine el período T del MAS en s (segundos) y la frecuencia angular en Hz (Hertz) directamente a partir de los gráficos.
Energía potencial
Applet para describir la energía potencial involucrada en el MAS. El oscilador está en un " pozo de energía potencial " descrito por la función E(x) = ax 2 + bx 3 , donde a y b son constantes; a = 0,5 k y b = 0 describe el caso del oscilador armónico simple, siendo k la constante elástica del sistema; b > 0 considere oscilaciones anarmónicas .
El disco rojo representa la partícula de masa M que oscila entre los puntos de retorno -Xm y Xm cuando se somete a la fuerza restauradora F. También se muestra la representación geométrica del cambio de energía con el desplazamiento (derivada del eje en reposo) mediante la recta tangente a la curva. Para - Xm < X < 0 , la pendiente de la recta es negativa; si 0 < X < Xm , la pendiente es positiva y si X = 0 (posición de equilibrio) la pendiente es 0.
Actividades:
1. Presione Iniciar. 2. Active las casillas F, X y tangente. Observe cómo, a medida que la partícula oscila, la pendiente varía. Compruebe que si - Xm < X < 0, la pendiente de la recta es negativa; si 0 < X < Xm , la pendiente es positiva y si X = 0 (posición de equilibrio) la pendiente es 0.
Energías potenciales y cinéticas
Un cuerpo en movimiento armónico simple tiene energía cinética y potencial. Para una masa constante, la cinética depende de la velocidad variando el desplazamiento en el tiempo; el potencial está asociado a la configuración elástica adoptada (resorte estirado, por ejemplo), la posición dentro de un campo gravitacional, eléctrico o magnético (piedra a cierta altura, balanceo de un péndulo, entre otros).
Este sistema oscilante de constante elástica ky y masa m se describe a continuación, mediante una adaptación realizada por los autores de este blog al excelente applet de Luciano Troilo ( http://geogebratube.org/material/show/id/2338 ). Con los botones INICIO , PAUSA y RESET es posible controlar el funcionamiento del sistema. También está disponible un cronómetro para medir el tiempo en segundos.
Inicialmente, la esfera está en una posición de equilibrio estable (flecha punteada horizontal) porque, dado que el resorte no está estirado ni comprimido, la fuerza restauradora (vector verde) es cero. Cuando se presiona la tecla Start, comienza a oscilar hacia arriba, alcanza la posición de máximo desplazamiento vertical (vector violeta) y regresa nuevamente a la posición de equilibrio; luego, la inercia hace que baje hasta el punto de máximo desplazamiento y suba nuevamente hasta la posición de equilibrio, lo que pasa por acción de la inercia . El ciclo se repite indefinidamente en este modelo sin fricciones.
1. Presione la tecla Inicio y observe cómo se comporta el sistema a lo largo del tiempo. El alargamiento y la fuerza de restauración varían a medida que el sistema oscila; fíjate que los vectores que los representan siempre tienen direcciones opuestas. Recuerde que esta es una característica de este tipo de sistema; 2. Varíe la masa de la esfera con el Slider rojo y observe cómo varía el periodo (T = 2 π (M/k) 1/2 ) de oscilación. ¿El período aumenta o disminuye al aumentar la masa? 3. Varíe la constante del resorte con el control deslizante azul y observe cómo varía el período de oscilación. ¿El período aumenta o disminuye cuando k disminuye? 4. Elija el valor máximo de la masa y el valor mínimo de la constante elástica. Reinicie el subprograma. Presione Inicio y mida el tiempo transcurrido para 2 oscilaciones. Calcule el período y la frecuencia de oscilación. Comparar con las ecuaciones del modelo MAS .
Por otro lado, el siguiente applet permite dibujar la gráfica del ángulo de fase φ( x i ) = arctg ( x i ω/ v i ) y el desplazamiento x (t) = x o sin (ωt + φ) , para complementarlo análisis previo. Tiene los controles deslizantes alargamiento inicial x i , amplitud A = x o y frecuencia ω; además de casillas de verificación para mostrar gráficos de la posición x positiva versus v (cuando el sistema se mueve hacia la derecha), la posición x negativa versus v (cuando el sistema se mueve hacia la izquierda) y el ángulo de fase φ . El círculo verde grande representa el cuerpo de masa M en su posición inicial para t = 0.
Un cuerpo en movimiento armónico simple tiene energía cinética y potencial. Para una masa constante, la cinética depende de la velocidad variando el desplazamiento en el tiempo; el potencial está asociado a la configuración elástica adoptada (resorte estirado, por ejemplo), la posición dentro de un campo gravitacional, eléctrico o magnético (piedra a cierta altura, balanceo de un péndulo, entre otros).
Actividades:
1. Variación de la energía cinética . Con el ángulo de fase φ igual a cero, el cuerpo comienza a moverse hacia la derecha de la posición de equilibrio. Al aumentar M y se observa como aumenta el período del movimiento. Varíe φ y observe cómo cambia la gráfica.
2. Variación de la energía potencial. Observe su variación con el cambio de k y cómo varía el período.
3. Constancia de la energía mecánica. . Observe cómo, independientemente de los valores de M y k, la energía mecánica permanece constante, como se esperaba.
Sistema masa-resorte
Este sencillo subprograma ilustra el comportamiento de sistemas oscilantes más complicados. Entre sus innumerables aplicaciones destacamos el mecanismo de amortiguación de los automóviles mediante muelles helicoidales.
Se caracteriza por tener dos propiedades fundamentales:
a) La elasticidad, que reside en el recurso; se mide por su constante elástica k, en N/m.
b) Inercia, que reside en el peso colgante; se mide por su masa m , en Kg. En este modelo en particular, consideramos que la masa del resorte es muy pequeña en comparación con la masa de la esfera.
Estas propiedades (elasticidad e inercia) compiten para mantener el sistema oscilante. Como resultado de la elasticidad restauradora, la fuerza elástica que actúa sobre la esfera colgante se genera cuando ésta ha sido desplazada de su posición de equilibrio estable; por otro lado, la inercia de la información sobre cómo responde la masa a la acción de la fuerza restauradora. Cuando la esfera está por encima (o por debajo) de la posición de equilibrio, se genera una fuerza restauradora que la obliga a regresar a dicha posición; en esta posición de equilibrio, la fuerza elástica deja de actuar y la inercia "toma el control" para enviar la esfera más allá de la posición de equilibrio, hacia los puntos de retorno a donde regresa. Este proceso se repite y se mantiene a medida que el sistema oscila. Por simplicidad, tampoco hemos considerado el efecto de la fricción en este análisis.
Inicialmente, la esfera está en una posición de equilibrio estable (flecha punteada horizontal) porque, dado que el resorte no está estirado ni comprimido, la fuerza restauradora (vector verde) es cero. Cuando se presiona la tecla Start, comienza a oscilar hacia arriba, alcanza la posición de máximo desplazamiento vertical (vector violeta) y regresa nuevamente a la posición de equilibrio; luego, la inercia hace que baje hasta el punto de máximo desplazamiento y suba nuevamente hasta la posición de equilibrio, lo que pasa por acción de la inercia . El ciclo se repite indefinidamente en este modelo sin fricciones.
Actividades:
1. Presione la tecla Inicio y observe cómo se comporta el sistema a lo largo del tiempo. El alargamiento y la fuerza de restauración varían a medida que el sistema oscila; fíjate que los vectores que los representan siempre tienen direcciones opuestas. Recuerde que esta es una característica de este tipo de sistema; 2. Varíe la masa de la esfera con el Slider rojo y observe cómo varía el periodo (T = 2 π (M/k) 1/2 ) de oscilación. ¿El período aumenta o disminuye al aumentar la masa? 3. Varíe la constante del resorte con el control deslizante azul y observe cómo varía el período de oscilación. ¿El período aumenta o disminuye cuando k disminuye? 4. Elija el valor máximo de la masa y el valor mínimo de la constante elástica. Reinicie el subprograma. Presione Inicio y mida el tiempo transcurrido para 2 oscilaciones. Calcule el período y la frecuencia de oscilación. Comparar con las ecuaciones del modelo MAS .
Ángulo de fase
El subprograma que se muestra a continuación le permite establecer el valor del ángulo de fase φ y relacionarlo con las condiciones iniciales del movimiento.
Actividades:
1. Cambiar el valor de la masa M y predecir si el período aumenta o disminuye.
2. Cambie el valor de la constante elástica k y prediga si el período aumenta o disminuye.
3. Aumente el valor del ángulo de fase φ y prediga dónde comenzará el movimiento del bloque.
1. Cambiar el valor de la masa M y predecir si el período aumenta o disminuye.
2. Cambie el valor de la constante elástica k y prediga si el período aumenta o disminuye.
3. Aumente el valor del ángulo de fase φ y prediga dónde comenzará el movimiento del bloque.
Por otro lado, el siguiente applet permite dibujar la gráfica del ángulo de fase φ( x i ) = arctg ( x i ω/ v i ) y el desplazamiento x (t) = x o sin (ωt + φ) , para complementarlo análisis previo. Tiene los controles deslizantes alargamiento inicial x i , amplitud A = x o y frecuencia ω; además de casillas de verificación para mostrar gráficos de la posición x positiva versus v (cuando el sistema se mueve hacia la derecha), la posición x negativa versus v (cuando el sistema se mueve hacia la izquierda) y el ángulo de fase φ . El círculo verde grande representa el cuerpo de masa M en su posición inicial para t = 0.
Actividades:
1. Se muestran las gráficas del ángulo de fase φ(x i ) = arctg (x i ω/ v i ) y el desplazamiento x(t) = x o sin (ωt + φ) ; moviendo el control deslizante xi hacia la derecha o hacia la izquierda, puede ver cómo cambian sus valores. En particular, moviendo el control deslizante hacia los extremos derecho o izquierdo, se obtienen los valores máximo y mínimo de φ, que son π/2 y -π/2, respectivamente.
2. Desmarque las casillas Posición x para -v .De esta forma se activan las gráficas de desplazamiento x(t) y φ(x i ) . En t = 0, el cuerpo estará en la posición de equilibrio x i = 0 y se moverá hacia los valores positivos de +x con la velocidad máxima v; es decir, tendrá el valor máximo +v o . En consecuencia, φ = 0 y la descripción de su posición viene dada por x(t) = x o sen (ωt), para t ≥ 0, como lo indica su gráfica.Por otro lado, si para t = 0, x = + xo , el cuerpo estará en reposo en el punto de retorno positivo x = +A, donde v = 0; y φ = π/2. Por lo tanto, x(t) = x o sen (ωt+π/2) = x o cos (ωt) que coincide con la gráfica. Corresponde al lector comprobar otros puntos.
3. Active el gráfico x(t) con la casilla de verificación Velocidad negativa . Repita lo anterior para las otras posiciones y encuentre los valores respectivos del ángulo de fase φ.
No hay comentarios:
Publicar un comentario