La Física de la Música

La Interdisciplinariedad 

en la 

Enseñanza de la Ondas

El término interdisciplinariedad fue propuesto por el sociólogo Luis Wirtz a partir de algunos intentos previos, donde se hace referencia a los “cruces de disciplinas” y las “demolición de las fronteras disciplinarias”. Como su nombre lo indica, la interdisciplinariedad es la interrelación entre disciplinas establecidas para compartir objetivos, contenidos, métodos y metodologías entre sí, propios de cada una. En sí misma, es el retorno al estudio de la complejidad de los procesos; trata de cómo engranar aquellos saberes simplificados y desmembrados en disciplinas, para una compresión  más amplia de la realidad. La interdisciplinariedad se puede integrar a la práctica pedagógica a partir de la formulación de un marco referencial (Arder-Egg, E., 1994) en una Unidad Didáctica, que permita integrar, organizar y articular aspectos fragmentarios y aparentemente inconexos que aparecen disgregados en las diferentes disciplinas del currículo escolar. Otros autores (como Heliosa Luck, 1994) conciben una Pedagogía Interdisciplinar fundamentada en un proceso de integración entre educadores que permita superar la atomización curricular mediante la interacción entre las diferentes disciplinas que se enseñan en educación secundaria, para lograr que los educandos interpreten globalmente su realidad actual.

En particular, el tema del Movimiento Ondulatorio es pertinente para este ejercicio de interrelación de la Física con otras disciplinas como la Matemática, la Música, la Biología y la Educación Física.

La influencia de las ondas se manifiesta, tanto en la diversidad de fenómenos naturales observables, como en las aplicaciones tecnológicas más sofisticadas. Desde el punto de vista tecnológico, podemos señalar las comunicaciones mediante telefonía celular, las emisiones y recepciones de ondas de radio en AM y FM, las aplicaciones en Medicina de las ondas ultrasónicas en las ecografías, y las endoscopias de uso generalizado en cirugías no traumáticas hechas con luz visible. Por otra parte, el conocimiento que se tiene de cómo se generan y propagan las grandes marejadas y los devastadores tsunamis, se fundamenta también en el estudio de las ondas superficiales en el agua. Por igual, la música.

La escala musical y su origen

Se remonta a los griegos el estudio cuantitativo de la primera escala musical cuando, al  relacionar entre sí los sonidos emitidos por un instrumento de una sola cuerda montada en una caja de resonancia conocido como monocordio, descubren los intervalos musicales (diferencia de tonos), al variar su longitud mediante el desplazamiento de una cuña móvil. Fue Pitágoras (580-520 A.C.) quien se dio cuenta de la relación existente entre la longitud de la cuerda tensada y el conjunto de notas que emite, al pulsarla en diferentes puntos; de que existe una armonía en la música, que depende a su vez de cómo se tensen y de qué tan larga sea la cuerda (ver figura siguiente). 

Dibujo de Pitágoras experimentando con las cuerdas.

          Esta armonía surge de la adaptación evolutiva de nuestro oído a la diversidad de sonidos emitidos por los objetos en la naturaleza. Cualquier objeto cuando vibra, lo hace con su modo fundamental y con un conjunto de armónicos cuyas frecuencias de vibración son múltiplos enteros o semi enteros de la frecuencia fundamental. En consecuencia, nuestro cerebro ha evolucionado en forma tal que, aquellos sonidos que guarden una relación de frecuencia en forma de proporción simple (2/1, 3/2, 4/3…), los reconoce como sonidos consonantes y producen una sensación armoniosa y agradable al escucharlos. De esto se dio cuenta Pitágoras y por lo tanto, procedió a establecer la primera escala musical.

A partir de un minucioso estudio, Pitágoras determina que la cuerda tensada de cierta longitud (L) emite un sonido cuya sensación auditiva es exactamente igual al generado cuando se pulsa su mitad (L/2), pero con un tono más agudo de frecuencia doble; hoy en día, se conoce como la octava (L/2) de la nota inicial denominada tónica (L).  Luego, la dividió en tres partes iguales y pulsó dos tercios (2L/3) de la misma, encontrando que la cuerda emitía un sonido consonante, armonioso, es decir agradable al oído y que su frecuencia era 3/2 veces mayor que la frecuencia de la tónica; este intervalo se conoce como la quinta.  La dividió en cuatro partes iguales y pulsó tres cuartas (3L/4) partes de su longitud, encontrando que la frecuencia de la nota era 4/3 mayor que la frecuencia de la tónica; este intervalo se denomina la cuarta. Procediendo de manera similar se obtienen los demás intervalos que se muestran en la primera columna a la izquierda de la tabla 1. En particular, para una cuerda de longitud L, el segundo intervalo se obtiene pulsando la cuerda a 2/3 de la longitud de la quinta la cual es igual a 2/3 L; es decir, a (2/3). (2/3) L = 4/9 L; como la frecuencia de la nota que da este trozo de cuerda es 9/4 f = 2,25 f y superior  a 2 f, es necesario elegir una cuerda que sea el doble de 4/9 L, es decir de longitud 8/9 L; de modo que al ser pulsada emita un tono entre f y 2f y su frecuencia será de 9/8 f = 1,125 f. En forma análoga se procede con los demás intervalos para obtener las notas musicales y completar así las siete que se conocen: Do, Re, Mi, Fa, Sol, La, Si. Por otra parte, si se elige como tónica la nota Do₄ cuya frecuencia es de 261,63 Hz se puede calcular la frecuencia de cada nota como se indica en la columna número cinco de la misma tabla.

Tabla 1 
Intervalos musicales para una cuerda de longitud afinada 
con la nota Do₄ (C₄) =  261,63 Hz

La escala, establecida mediante este procedimiento se conoce como Escala Natural y fue obtenida a partir del tercer armónico de la frecuencia de la Tónica; es decir, la Tónica de frecuencia f se multiplicó por 3 para obtener 3f, pero como este valor es superior a 2f se debe dividir por 2 para que esté comprendido en el rango de la octava y obtener la quinta. Para las demás notas se procede como se describió antes. Por otra parte, en la columna 4 se calculó razón entre la frecuencia de la nota y la que le precede; así que las notas que guardan una relación de 9/8 están separadas un tono y las relacionadas por 256/243 están separadas medio tono o un semitono. Por consiguiente, la escala natural está estructurada por 5 tonos y 2 semitonos; aunque, para este caso, estos dos semitonos no son exactamente la mitad de un tono. Para solventar este problema se inventó la Escala Temperada, constituida por 12 semitonos (7 tonos y 5 semitonos) separados regularmente en cada octava; en el piano, los tonos son las teclas blancas y los semitonos las negras.

La tabla 2 muestra las notas musicales de las ocho octavas del piano según la escala temperada. Cada tecla tiene marcado el nombre de la nota que emite cuando se pulsa. Las blancas tienen marcada su correspondiente frecuencia en la fila inferior de números; y la frecuencia de las negras aparecen en la fila superior. La relación de frecuencia de una nota y la anterior en esta escala es igual a   2^1/12 = 1,0595..., lo que corresponde a medio tono.

                                            Tabla 2 Notas del piano

Adaptada de: http://www.lpi.tel.uva.es/~nacho/docencia/ing_ond_1/trabajos_05_06/io2/public_html/escalas.html

Esta escala tiene por referencia la nota La₄ (A₄) con frecuencia de 440 Hz. A partir de la cual se construyen el resto de notas por encima o debajo de este valor. Así por ejemplo, para obtener la frecuencia de la nota Si₄ (B₄)  se multiplica 440 por  2^1/12  y se obtiene 466,16 Hz, valor de frecuencia del sostenido, el cual se denota así: Si_#4 (B_#4). Para obtener la siguiente nota, es decir el Do₅ (C₅) se procede de la misma forma: 2^1/12 2^1/12 440 = 493,8. 

 En la Tabla 3 se muestra las doce notas calculadas de esta manera.

Tabla 3 Las doce notas de la Escala Temperada 
(Cuarta octava)

Con el siguiente applet se pueden tocar las notas de una particular octava.

 

En la presentación en Power Point que se muestra a continuación se describe con detalles la construcción de la escala musical natural tal como se mencionó arriba.

          

      Carrizos de bambú o metal

Para esto disponemos de dos procedimientos: uno teórico y otro empírico. En el primer caso se necesitan, en primera aproximación, de las infalibles ecuaciones del modelo teórico. Hemos afirmado antes, que la relación entre la frecuencia f y la longitud L de la columna de aire dentro de un tubo ideal,  abierto por un extremo y cerrado por el otro, viene dado por: 

donde V, la velocidad del sonido en el aire de su interior, expresada en m/s, depende aproximadamente de la temperatura t_C en grados Celsius (centígrados), como indica la siguiente expresión

Sin embargo, un tubo real se comporta como si tuviera una longitud efectiva L_efec un poco mayor que la longitud ideal L, debido a la impedancia acústica que presenta el aire atmosférico en la boca del tubo; en consecuencia, la onda estacionaria de presión tiene su nodo un poco por fuera del tubo. Por lo tanto, es necesario agregar un término en la ecuación anterior, sumándole a L la cantidad 0,6133R (Fletcher N.  y  Rossing T., 1929; Levine H. y Schwinger J., 1948 ), para corregir por efecto de extremo, siempre y cuando la longitud de onda del sonido sea muy grande comparado con el radio del tubo. Así que, la ecuación se transforma en

donde R es el radio interno del tubo. Esto significa, que si cortamos un tubo utilizando sólo el primer término de esta última ecuación, su longitud sería mayor y su frecuencia resultaría menor al soplarlo. Por esta razón, los músicos constructores de flautas utilizan carrizos cortos y más delgados para las notas agudas, y más largos y gruesos para las graves para reducir el error en su construcción. 

Por lo tanto, basta conocer la nota musical que debe emitir el tubo cuando se sopla, en qué octava está ubicada para determinar su frecuencia f, y proceder luego a calcular su longitud. Además, es necesario considerar que al soplar el tubo con la boca, penetra en su interior aire caliente y húmedo. Es decir, el aire dentro del tubo se encuentra a mayor temperatura que el ambiente y con un porcentaje alto de vapor de agua (humedad relativa elevada) proveniente de los pulmones. En este trabajo, la temperatura promedio medida dentro de los tubos fue de 30 ^oC, aproximadamente. Aunque un cálculo más preciso requiere introducir nuevas variable, el modelo aquí descrito permite calcular las longitudes de los tubos con bastante precisión. 

A continuación se procede a calcular las longitudes del kit de carrizos (o tubos de aluminio) para interpretar la melodía “Los pollitos dicen”. Como existen varias octavas, hay elegir aquella que contenga las notas con una frecuencia tal, que los tubos no resulten ni muy largos ni muy cortos. Las notas de esta melodía son: Do₅ (C₅),   Re₅ (D₅),   Mi₅ (E₅),    Fa₅ (F₅),  Sol₅ (G₅),  Sol₅,  La₅ (A₅),  La₅, La₅, La₅, Sol₅, Sol₅, Fa₅ , Fa₅ ,Fa₅ ,Fa₅  , E₅, E₅, Re₅ , Re₅ Sol₅, Sol₅, Do₅, Do₅. En consecuencia, se necesitan seis carrizos, uno para cada nota musical. Se eligió la quinta octava porque cumple con la condición de longitud apropiada. Para calcular la longitud con la fórmula anterior, hay que medir el diámetro interno del tubo con un vernier y la temperatura en su interior en el momento que se está soplando.

En la siguiente tabla se resumen las notas musicales, sus frecuencias y longitudes respectivas, en el caso particular de tubos de aluminio de cortina de media pulgada de diámetro (1,27 cm) (consultar La escala musical y su origen en este Blog); donde f_teo es la frecuencia teórica que proporciona la escala musical para tales notas; f_med es la frecuencia medida con el software Adobe Audition para cada tubo; L_tubo es la longitud con la cual se debe cortar cada tubo.

        Tabla: Frecuencia y longitud de los tubos

Nota	Do5	Re5	Mi5	Fa5	Sol5	La5	Si5
fteo (Hz)	523,25	587,33	659,26	698,46	783,99	880,00	987,77
fmed (Hz)	523,73	586,86	656,83	688,46	779,30	876,84	975,12
Lef (cm)	16,67	14,85	13,23	12,49	11,13	9,91	8,83
Ltubo = Lef - 0,613 D  (cm)	15,77	13,95	12,33	11,59	10,23	9,01	7,93

                                   

El segundo procedimiento es empírico. En tal sentido, se cortan varios tubos de aluminio de diferentes longitudes y se les miden las frecuencias fundamentales con Adobe Audition o cualquier otro software que sirva para este propósito. Luego se hace la gráfica  de L_tubo en función de 1/f_med , con cualquier software (Origen, Excel, etc.) como se puede apreciar en la figura adjunta. Por supuesto, como la relación es lineal, da una recta cuya ecuación se puede obtener realizándole el correspondiente ajuste.

     El ajuste de la recta, permite obtener:

Finalmente, con esta ecuación empírica se pueden calcular las longitudes de los tubos para cada nota, en este caso. Para mayor precisión se recomienda aumentar el número de puntos de la gráfica; en este caso se usaron los mismos siete tubos calibrados antes con el modelo teórico. Si se eligen tubos de otros calibres o materiales, cambian las constantes de la ecuación y es necesario repetir el procedimiento anterior para obtener una nueva ecuación.

Luego se procede a cortar los tubos, utilizando cualquiera de los dos métodos. Si son carrizos, se corta cerca del nudo con una sierra para que ese extremo quede de una vez cerrado; por supuesto, el otro extremo es abierto. Si se hacen con tubos de aluminio para colgar cortinas, se sugiere el calibre de media pulgada de diámetro (1,27 cm). Para cortarlos se necesita un cortador de tubos como el que se muestra en la figura a fin de minimizar el error de corte. 

Finalmente los kit de carrizos y de aluminio, lucen como se muestra a continuación.

Después de preparado el kit de tubos, se procede a efectuar la dinámica con los estudiantes. Se necesitan seis estudiantes, uno por tubo; y el director de la “orquesta”. Este último se encarga indicarle a cada ejecutante cuándo debe soplar su tubo para generar la nota correspondiente y establecer el ritmo de la melodía. ¡Feliz concierto!

En el siguiente video editado con SnagIt, se puede visualizar el registro acústico efectuado con Adobe Audition, así como escuchar la melodía de los Pollitos interpretada con los tubos de aluminio.

Actividades complementarias:

1. ¿Cómo determinar el radio del tubo de aluminio y la velocidad del sonido mediante el método empírico?

2.  Compare con los valores obtenidos mediante el modelo teórico.

3. Enfríe un tubo de aluminio en la nevera y determine la nota emitida al soplar.¿Cambia el tono? En qué porcentaje.

4. Construya un kit de tubos de papel reciclable, mediante el procedimiento utilizado para fabricar papel artesanal. Calíbrelos.

5. Cuando un tubo de aluminio se deja caer al piso, suena. ¿Emitirá la misma nota cuando se sopla?

Xilófono o marimba de tubos
metálicos

Mediante la percusión también se pueden generar sonidos. En particular, con tubos de aluminio para colgar cortinas en las ventanas se pueden reproducir las notas musicales. Un tubo de cualquier longitud emite sonido cuando se golpea con un objeto. Lo mismo sucede si se deja caer en un piso de cemento, granito o cerámica. Cuando cae al piso, el tubo se dobla de forma imperceptible y empieza a vibrar transversalmente; estas vibraciones comprimen y expanden el aire circundante y se genera el sonido que percibimos.

Los modelos físico-matemáticos predicen con bastante precisión la frecuencia fundamental y la gama de armónicos emitidos durante su percusión. Para este caso, la frecuencia f_n de vibración del tubo y, por supuesto, la del sonido emitido depende, entre otras cosas, de las propiedades inerciales (densidad ρ = m/V) y elásticas (módulo de elasticidad ) del aluminio dada por

así como del momento de inercia I que depende a su vez de la longitud L del tubo y los radios interno R₁ y externo R₂, como indica la siguiente ecuación:

donde A es el área de la sección transversal. A cada modo de vibración le corresponde una solución dada por (kL)₁ = 4,73004; (kL)₂  = 7,8532; (kL)₃ = 10,9956, etc.; para el modo fundamental y el conjunto de armónicos.

Por otra parte, mediante el siguiente método empírico, también se puede obtener la correlación entre la frecuencia del sonido emitido y la longitud del tubo; para proceder luego con la calibración del kit de tubos de diferentes longitudes que emitan las notas comprendidas en una o dos octavas de la escala musical. En primer lugar, se requiere escoger el instrumental de medida de la frecuencia del sonido emitido por los tubos al ser golpeados; podría servir un micrófono conectado a un osciloscopio o una computadora portátil con micrófono incorporado y con el software Adobe Audition (o Audacite) activado. Existen otras alternativas que el lector puede explorar. En tal sentido, se elige cierta clase de tubo de aluminio con un determinado calibre (diámetro); en las ferreterías los venden por unidades de seis metros de longitud y de 1/2 o 5/8 de pulgadas de diámetro; se corta un trozo de tubo de 35 cm longitud con una herramienta corta tubos para garantizar precisión en la longitud. En primer lugar, se deja caer el tubo en el piso y se mide la frecuencia del sonido emitido, luego se le corta 2,5 cm y se mide la frecuencia del tubo de 32,5 cm; se recorta de nuevo 2,5 cm y se mide la frecuencia del tubo de 30 cm;  se procede así hasta que el tubo tenga 10 cm. 

Con estos datos se puede hacer la gráfica, con cualquier software comercial (Excel, Origin 9, Maple XII, Excel, etc.), de la frecuencia f en función del inverso del cuadrado de la longitud 1/ L² del tubo como se muestra en la figura adjunta. 

          

Al hacerle una regresión lineal a los puntos con Excel, Origin XII, o cualquier otro software (papel milimetrado en su defecto), se obtiene una recta cuya ecuación permite concluir, con bastante aproximación, que la frecuencia f del sonido emitido es inversamente proporcional al cuadrado de la longitud, es decir,

donde  a  = 125,8 Hz  y  b = 6,73766Hz.cm² Hz  son constantes que dependen de la geometría y de las propiedades del material del tubo. En este caso se eligió un tubo de cortina de aluminio de media pulgada de diámetro.

Con la ecuación anterior, se despeja la longitud L en función de la frecuencia, y se calcula la longitud de cada tubo para que emita cada una de las notas musicales. Se cortan siete o catorce tubos para tener una o dos octavas de la escala musical (ver tabla 6). Cada tubo se identifica y cuelga verticalmente de un hilo colocado aproximadamente a 0,224 L de uno de sus extremos y se agrupa en la secuencia de la escala musical natural (temperada): DO (C), RE (D), MI (E), FA (F), SOL (G), LA (A), SI (B). A continuación se procede a interpretar cualquier melodía sencilla, mediante la percusión de los mismos.

Por otra parte, también se puede construir un Kit de Tubos Melodiosos de la siguiente manera. Se busca, en primer lugar la partitura de la melodía cuyas estrofas se quiere interpretar, por ejemplo Cumpleaños Feliz (columna 2 de la tabla 6), y se identifican las notas musicales para cada sílaba de la melodía (columna 3); luego, se identifica la frecuencia (columna 4) de cada nota con la tabla de notas descrita en artículos anteriores de este blog. Finalmente, para cada valor de la frecuencia, se calcula con la ecuación anterior, la longitud de los tubos (columnas 5 y 6). Para interpretar la melodía se enumeran los tubos y se ordenan según la tabla 6. En la figura de arriba se pueden visualizar los tubos en su estuche. Luego, al deja caer cada tubo, uno por uno, y en el orden establecido desde una altura de 10 cm respecto al piso, se podrá disfrutar de la melodía “Cumpleaños Feliz”. 

  

En la figura adjunta se muestra el espectro acústico obtenido con Adobe Audition,  emitido por un tubo de aluminio previamente calibrado para que emita la nota La₆ (A₆) con la frecuencia fundamental de 1.772 Hz y algunos armónicos con frecuencias de 4.660 y 8.550 Hz.

A continuación se muestran fotografías y videos donde se utilizó el Kit de tubos en diversas actividades pedagógicas desarrolladas por uno de los autores de esta página en el Instituto Pedagógico de Maturín (UPEL) durante el Taller: "Del Monocordio de Pitágoras a la Teoría de Cuerdas".

 

 Creditos: la fotografía pertenece a la Colección Privada de la Profesora Erika Alcalá.

En el siguiente video se muestra otra actividad desarrollada en la Feria de la Ciencia en la U. E. Colegio José Félix Rivas de Ejido, Mérida (Venezuela).

Marimba de botellas

Las botellas de vidrio al igual que las copas de cristal generan sonidos cuando se soplan o  golpean.  Al golpear una botella vacía con una barra maciza de madera, se perturba su superficie y vibra transversalmente con su modo fundamental y conjunto de armónicos, tal como lo hace cualquier sistema elástico; vibraciones que son transmitidas al aire interior y exterior y generan ondas sonoras con las mismas frecuencias de los modos de vibración de la botella; como todo sistema mecánico, su frecuencia de vibración dependerá de su inercia (masa), elasticidad (tipo de vidrio) y geometría (forma, tamaño, espesor). Cuando se le agrega cierto volumen de agua, su masa aumenta y se incrementa su inercia; así que, vibra más lentamente y la frecuencia del sonido emitido disminuye. Existe entonces, un rango de frecuencia de vibración con dos límites: uno mayor cuando está vacía y otro menor al estar completamente llena. De modo que regulando el volumen de agua en su interior se puede lograr que vibre con la frecuencia requerida. Por consiguiente, cualquier botella de vidrio se puede calibrar para que genere cierta nota fundamental, comprendida en la correspondiente octava de la escala musical que deseamos escuchar. En la siguiente figura se muestra el espectro acústico obtenido con Adobe Audition, emitido por una botella de vidrio calibrada para que emita la nota La₆ (A₆) con la frecuencia fundamental de 1.772 Hz y varios armónicos con frecuencias de 3.193, 4.188 y 5.142 Hz, entre otros.
 

Con Pitch Perfect Musical Instrument Tune también se puede calibrar su frecuencia, aunque no se visualizan los armónicos (figura de abajo).

Se recomienda usar un juego de botellas de aguardiente (miche andino o cocuy) de un litro (grande), tres cuartos de litros (mediana), un cuarto de litro (pequeña) y una garrafa de cinco litros (no aparece en la figura). La botella de un litro vibra entre 1.300 Hz y 2.200 Hz; la mediana vibra entre 1.500 Hz y 2.450 Hz; la pequeña entre 2.000 Hz y 3.400 Hz; el garrafón vibra entre 1.000 Hz y 2.200 Hz, aproximadamente. Con las botellas pequeñas se generan tonos agudos y con las grandes tonos graves; con el garrafón se calibra la nota más grave. Tres de las botellas descritas se muestran a continuación. 

Al comparar estos intervalos de frecuencia con las correspondientes frecuencias de las notas (y sus sostenidos) de cada octava musical de la tabla adjunta, se concluye que los sonidos emitidos por las botellas grandes y medianas cae en la sexta (C₆, D₆…A₆, B₆) y séptima octava (C₇, D₇…A₇, B₇) y los sonidos de la pequeña cae en la séptima octava. Recordar que A B C D E F G es equivalente a Do Re Mi Fa Sol La Si, como se indicó en artículos anteriores.

             

De esta forma se pueden calibrar al menos 7 botellas de diferentes tamaños para una octava y construir una marimba para interpretar melodías sencillas. 

            

En la tabla A se recopilan las notas con sus respectivas frecuencias, requeridas para interpretar la melodía “Cumpleaños feliz” descritas anteriormente en Xilófono o marimba de tubos metálicos de este Blog; por supuesto, previamente hay que calibrar con Adobe Audition (Audacity, PitchPerfect Musical Instrument, entre otros) ocho botellas con cada una de tales notas; para interpretar la melodía se golpea cada botella del kit calibrado con un palo de madera siguiendo  el orden establecido, desde la primera nota hasta la veinticincoava.
  

El applet que se muestra a continuación simula ocho teclas del piano con las correspondientes notas musicales para interpretar "Cumpleaños Feliz" según la siguiente secuencia de notas: Re6 Re6 Mi6 Re6 Sol6 Fa6 / Re6 Re6 Mi6 Re6 La6 Sol6 / Re6 Re6 Do7 Si6 Sol6 Fa6 Mi6 / Do7 Do7 Si6 Sol6 La6 Sol6. Con este "teclado" se puede adquirir destreza para luego interpretar la melodía con el kit de botella. Se deja a disposición del lector para su disfrute.

      

 En la tabla B se muestran otra serie de cinco notas musicales para interpretar la misma melodía con la siguiente secuencia: G G A G C^* B / G G A G D^* C^* / G G D^* C^* B A G / C^* C^* B G A G, donde el asterisco (*) se refiere al sostenido (bemol) de dicha nota. Con botellas de vidrio cuyo rango de frecuencia esté comprendido entre 1.500 (llenas de agua) y 2.500 Hz (vacías) se puede calibrar un kit de 25 botellas; luego se colocan en fila y se golpean sucesivamente desde la primera hasta la veinticincoava para interpretar la melodía  “Cumpleaños Feliz”. 
          

La fotografía de abajo deja constancia de la interpretación de la melodía “Cumpleaños Feliz”, realizada por la Profesora Ana María Flores de la U.E. Ezequiel Zamora del estado Mérida, durante la celebración de La Feria de la Ciencia; y en el video, los estudiantes Gerardo Daniel Peña Rondón, Génesis del Valle Diaz Gandica, Luissel Adriana Plaza León y Jesús Abraham Arias Picón, de la misma institución, realizan  actividades pedagógicas con el kit de botellas calibradas.

                        

   

 La siguiente instantánea recoge el momento de interpretación de algunas melodías ejecutadas por la Profesora Eriglés Vallera con el kit de botellas durante la clausura de la "VI Jornada Nor Oriental en la Enseñanza de la Física (2011)" en el Instituto Pedagógico de Maturín (UPEL).

Crédito: Esta fotografía pertenece a la colección privada de la Profesora Erika Alcalá.

         El siguiente video exhibe la destreza de un excelente grupo de virtuosos tocando con una marimba de botellas.

 

Copas sonoras de cristal

Las copas de cristal, al igual que cualquier material elástico, vibran transversalmente cuando se golpean y perturban el aire que las rodean; en consecuencia, se generan ondas sonoras de igual frecuencia a las vibraciones que producen. Al colocar la hoja de un cuchillo de mesa en el borde se pueden visualizar tales vibraciones. Las copas vibran transversalmente de diferentes maneras con el modo fundamental y el conjunto de armónicos.

     Otra forma de ponerlas en vibración, aunque menos evidente, es mediante el frotamiento con los dedos. De esta forma de logran excitar los modos de vibración longitudinales. Para esto, se lava bien con jabón detergente la copa y las manos; se moja con agua pura el dedo índice y se frota el borde con movimientos circulares. Con un poco de práctica se puede lograr que vibre el modo fundamental o uno de los armónicos. Si no lo logra, cambie la presión del dedo sobre el borde de la copa y la velocidad de giro. Se escuchará un sonido agudo en el momento que logre excitar uno de los modos de vibración. Coloque un poco de agua en la copa y repita lo anterior. ¿Cambia el tono del sonido emitido? Por supuesto  que el tono emitido por la copa se modifica con la cantidad de agua en su interior; al aumentar el volumen de agua, es decir su masa, la copa vibrará con más lentitud y el tono (frecuencia) del sonido emitido será más bajo (menor). En general, la frecuencia de cualquier sistema en vibración es inversamente proporcional a su masa. 

    Algunos virtuosos que interpretan melodías de los clásicos con un kit de copas calibradas con agua. Cada copa se afina a oído (con un osciloscopio o con un software acústico) de modo que emita una nota musical. Dependiendo de la melodía a interpretar se requiere de la calibración de varias octavas de la escala musical. Se propone hacer esto con el profesor de música del instituto escolar. En el video adjunto se puede apreciar la magistral interpretación de una clásica melodía con copas calibradas de cristal.

En 1762 Benjamin Franklin inventó la Armónica de Cristal, la cual consiste de una hilera de copas de cristal montadas en un eje giratorio común, de uso en algunas orquestas de música clásica. Se muestra a continuación.